Matemática: 2013

martes, 10 de diciembre de 2013

Algebra

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de laaritmética.² ³ En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética.

martes, 24 de septiembre de 2013

Congruencias

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a\,\textstyle\text{y}\displaystyle\,b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\, \ne\, 0$ , llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

$a \equiv b \pmod m$

que se expresa diciendo que $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$ . Las siguientes expresiones son equivalentes:

$a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$

$a\equiv b\pmod m$

El resto de $a\,$ entre $m\,$ es el resto de $b\,$ entre $m\,$

$a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m$

$m\,$ divide exactamente a la diferencia de $a\,$ y $b\,$

$m\mid a-b$

$a\,$ se puede escribir como la suma de $b\,$ y un múltiplo de $m\,$

$\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p\,$ y cada entero $a\,$ no divisible por $p\,$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}$ , tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x \equiv 4\pmod{11}$ y $x\equiv 7 \pmod{11}$ , es decir $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4\,$ y $11k+7\,$ . Contrariamente la congruencia $x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}$ , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, aideales de anillos de números algebraicos, etc.

lunes, 23 de septiembre de 2013

gráficos en el cartesiano

domingo, 7 de julio de 2013

Simetria

La simetría (del griego σύν "con" y μέτρον "medida") es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada si el resultado de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. Además de simetrías geométricas existen simetrías abstractas relacionadas con operaciones abstractas como la permutación de partes de un objeto.

Simetria en geometria

Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:

Simetría esférica si existe simetría bajo algún grupo de rotaciones, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3).
Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2).
Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente $\mathbb{Z}_2$ . En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón.
Simetría traslacional se da cuando la transformación $T_a(p) = p + a\,$ deja invariable a un objeto bajo un grupo de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia sólo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario.

Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son:

Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times \R^n$ .
Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación al rededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación.
Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases:
1. Simetría helicoidal infinita
2. Simetría helicoidal de n-ejes
3. Simetría helicoidal que no se repite

miércoles, 15 de mayo de 2013

Potencias

A modo de Recapitulación:

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

	exponente	Se puede leer: tres elevado a cuatro tres elevado a la cuarta

	base

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2⁶ (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).

Ejemplos:

2 ⁵= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 ² = 3 · 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 ⁴= 5 · 5 · 5 · 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Ejercicios de aplicación de exponentes.